Question

1．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}+1$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）首先，當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，然后，設(shè)x＜0，則-x＞0，然后，借助于函數(shù)為奇函數(shù)，進(jìn)行求解即可，
（2）畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）是定義在R上的奇函數(shù)∴f（0）=0
設(shè)x＜0，又f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-[（$\frac{1}{2}$）^-x+1]=-（2^x+1），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{2}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$
（2）函數(shù)的圖象為

函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：（-∞，0），（0，+∞），無單調(diào)增區(qū)間．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的解析式相結(jié)合知識點(diǎn)以及函數(shù)圖象的畫法和識別，涉及到指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．