Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=1和點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動(dòng)．求PA²+PB²的最大（小）值及相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合

分析：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），計(jì)算PA²+PB²的值，利用Z=x₀²+y₀²的意義即圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
數(shù)形結(jié)合，求PA²+PB²的最大值和最小值，并求相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： 解：如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則PA²+PB²=（x₀+1）² +y₀² +（x₀-1）² +y₀²=2（x₀²+y₀²）+2
令Z=x₀²+y₀²，顯然Z表示圓C上一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
當(dāng)Z最大（小）時(shí)，PA²+PB²最大（小），設(shè)直線OC交圓C于兩點(diǎn)P₁，P₂，
當(dāng)P與P₁重合時(shí)，Z最小，其值為（|OC|-1）²=16
當(dāng)P與P₂重合時(shí)，Z最大，其值為（|OC|+1）²=36
∴PA²+PB²的最大值為74，最小值為34．
直線OC的方程為y=

4

3

x，解方程組

y= 4 3 x (x-3)2+(y-4)2=1

臺(tái)得P1(

12

5

，

16

5

)，P2(

18

5

，

24

5

)  即相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意式子Z=x₀²+y₀²表示的意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．