Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2， AD=CD=，PA=，∠ABC=120°,G為線段PC上的點

（1）證明：BD⊥面PAC

（2）若G是PC的中點，求DG與APC所成的角的正切值

（3）若G滿足PC⊥面BGD，求的值．

Answer 1

【解析】
（1）證明：∵在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．

∵AB=BC=2，AD=CD=，設(shè)AC與BD的交點為O，則BD是AC的中垂線，故O為AC的中點，且BD⊥AC．

而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．

（2）若G是PC的中點，O為AC的中點，則GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，

∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO為DG與平面PAC所成的角．

由題意可得，GO=PA=．

△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，

∴AC=2，OC=．

∵直角三角形COD中，OD==2，

∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．

（3）若G滿足PC⊥面BGD，∵OG?平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC==．

由△COG∽△CAP，可得，即 ，解得GC=，

∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．．

【解析】

試題分析：（1）利用直線和平面垂直的判定定理證得BD⊥面PAC．

（2）由三角形的中位線性質(zhì)以及條件證明∠DGO為DG與平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得tan∠DGO的值．

（3）由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG=PC﹣GC 的值，從而求得 的值．

考點：直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．