Question

已知平面區(qū)域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

  恰好被面積最小的⊙C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其內(nèi)部所覆蓋．
（1）試求⊙C的方程．
（2）若斜率為1的直線l與⊙C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且滿足CA⊥CB，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）畫(huà)出可行域，求出三角形區(qū)域OMN的外接圓滿足條件；
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m，交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與⊙C的方程聯(lián)立得到△＞0即根與系數(shù)的關(guān)系，利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可求出．

解答：解：（1）畫(huà)出平面區(qū)域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

，如圖所示的直角△OMN，
 恰好被面積最小的⊙C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其內(nèi)部所覆蓋，則⊙C是△OMN的外接圓．
由x+2y-4=0與x軸相交于點(diǎn)M（4，0），與y軸相交于點(diǎn)N（0，2）．
∴|MN|=

22+42

=2

5

．
因此Rt△OMN的外接圓的直徑為2

5

，圓心為斜邊MN的中點(diǎn)C（2，1）．
故⊙C的方程為：（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m，
交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=x+m (x-2)2+(y-1)2=5

，化為2x²+2（m-3）x+m²-2m=0．
∵直線l與⊙C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴△＞0，化為＞m²+2m-9＜0．（*）
∴x₁+x₂=3-m，x1x2=

m2-2m

2

．
∵CA⊥CB．
∴

CA

•

CB

=（x₁-2，y₁-1）•（x₂-2，y₂-1）=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+（x₁+m-1）（x₂+m-1）
=2x₁x₂+（m-3）（x₁+x₂）+（m-1）²+4=0．
代入可得m²-2m+（m-3）（3-m）+（m-1）²+4=0，化為m²+2m-4=0，解得m=-1±

5

．滿足（*）．
∴滿足條件的直線l的方程為y=x+(-1±

5

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線性規(guī)劃的可行域、三角形的外接圓、直線與圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0即根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．