Question

已知平面區(qū)域

x≥0 y≥0 x+2y-4≤0

恰好被面積最小的圓C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其內(nèi)部所覆蓋，設(shè)該圓的圓心為點(diǎn)C．
（1）試求圓C的方程．
（2）若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，且CA⊥CB，求直線l的方程．
（3）求直線y=k（x-9）與圓C在第一象限部分的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面區(qū)域與最小圓的位置關(guān)系得知，確定圓的位置，從而得到圓的方程；
（2）設(shè)所求的直線方程一般形式，根據(jù)CA⊥CB，得知△ABC為等腰Rt△，即可求點(diǎn)C
到AB的距離，然后用點(diǎn)到直線的距離公式，求出參數(shù)，從而求出直線方程．

解答：解：（1）依題意可知，設(shè)直線x+2y-4=0分別在x軸、y軸上的交點(diǎn)為M、N，則M（4，0），N（0，2），
最小圓就是以MN為直徑的圓，∴（x-2）²+（y-1）²=5；
（2）設(shè)直線l的方程為：x-y+t=0．則C（2，1）
∵CA⊥CB，∴△ABC為等腰Rt△，即知點(diǎn)C到AB的距離為

5

2

則由點(diǎn)到直線的距離公式得

|2-1+t|

2

=

5

2

，
解得t=±

5

-1，
所以直線方程為x-y+

5

-1=0 或x-y-

5

-1=0．
（3）由已知，k＜0．
若直線與圓相切，則點(diǎn)到直線的距離公式得

|2•k-1-9k|

k2+1

=

5

解得k=-

1

2

．
又由圓與y軸正半軸交點(diǎn)A（0，2），
∴直線過定點(diǎn)B（9，0），kAB=-

2

9

．
所以，k∈[-

2

9

，0)∪{-

1

2

} 時(shí)有1個(gè)公共點(diǎn)，k∈(-

1

2

，-

2

9

) 時(shí)有2個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查平面區(qū)域、點(diǎn)到直線的距離公式及直線和圓的位置關(guān)系．