已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為
2
，且過點(diǎn)（4，-
10
）．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求證：F1M⊥F2M．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由離心率為
2
，得c=
2
a，可得a=b，設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ（λ≠0），將（4，-
10
）代入，求出λ，即可求雙曲線的方程；
（2）將M（3，m）代入雙曲線方程，得m=±
3
，證明kF1M•kF2M=-1，可得F1M⊥F2M．
解答： （1）解：由離心率e=
c
a
=
2
，得c=
2
a，∴a=b，
設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ（λ≠0），將（4，-
10
）代入得λ=6，
∴此雙曲線的方程為x2-y2=6．
（2）證明：將M（3，m）代入雙曲線方程，得m=±
3
，
∵F1（-2
3
，0），F(xiàn)2（2
3
，0），
∴kF1M•kF2M=
m
3+2
3
•
m
3-2
3
=-1，
∴F1M⊥F2M．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，正確求出雙曲線的方程是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于不等式組
2x-3y+2≥0
3x-y-4≤0
x+2y+1≥0
的解（x，y），當(dāng)且僅當(dāng)
x=2
y=2
時，z=x+ay取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（　　）
A、10B、17C、26D、28

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，將圓p：x2+y2=4上任意一點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?nbsp;（橫坐標(biāo)不變），得到點(diǎn)P，并設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q（
3
，0）的直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為N，且
OE
=2
ON
，點(diǎn)E在曲線C上，求直線l：
x
a
+
y
b
=1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上的動點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離與到定直線L：x=-1的距離相等，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線m過（-2，1），斜率為k，k為何值時，直線m與曲線C只有一個公共點(diǎn)，有兩個公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m．
（1）當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）求被橢圓截得的最長弦的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2lnx-x2+ax+b，已知a是正實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)b，使得e≤f（x）≤e2+1對x∈[1，e]恒成立，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，p是橢圓上一點(diǎn)，且在x軸上方，PF2⊥F1F2，PF2=λPF1，λ∈[
1
3
，
1
2
]．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)e取最大值時，過F1，F(xiàn)2，P的圓Q的截y軸的線段長為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過橢圓右準(zhǔn)線l上任一點(diǎn)A引圓Q的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N．試探究直線MN是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)；否則，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=
x2+2x+2
x2+x+1
的值域．

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同步練習(xí)冊答案