Question

如圖，將圓p：x²+y²=4上任意一點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半 （橫坐標(biāo)不變），得到點(diǎn)P，并設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q（

3

，0）的直線l與曲線C交于兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為N，且

OE

=2

ON

，點(diǎn)E在曲線C上，求直線l：

x

a

+

y

b

=1的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)P′（x′，y′），由題意可知

x′=x y′=2y

，由此能求出點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x₀，y₀），設(shè)直線l：x=my+

3

，由

x=my+ 3 x2+4y2=4

，得(m2+4)y2+2

3

my-1=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)P′（x′，y′），由題意可知

x′=x y′=2y

，…（2分）
又∵x′²+y′²=4，…（3分）
∴x2+4y2=4⇒

x2

4

+y2=1．…（5分）
∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為

x2

4

+y2=1．…（6分）
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
①當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，線段AB的中點(diǎn)N就是原點(diǎn)O，不合題意，舍去； …（7分）
②設(shè)直線l：x=my+

3

，
由

x=my+ 3 x2+4y2=4

，消去x，得(m2+4)y2+2

3

my-1=0…（8分）
∴y0=

y1+y2

2

=-

3 m

m2+4

，…（9分）
∴x0=my0+

3

=-

3 m2

m2+4

+

3 m2+4 3

m2+4

=

4 3

m2+4

，…（10分）
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(

4 3

m2+4

， -

3 m

m2+4

)．…（11分）
由

OE

=2

ON

，則點(diǎn)E的為(

8 3

m2+4

， -

2 3 m

m2+4

)，…（12分）
由點(diǎn)E在曲線C上，
得

48

(m2+4)2

+

12m2

(m2+4)2

=1，
即m⁴-4m²-32=0，∴m²=8（m²=-4舍去）．…（13分）
∴直線l的方程為x±2

2

y-

3

=0…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．