Question

已知cosα=

1

3

，cos(α+β)=-

1

3

，且α，β∈(0，

π

2

)，求tanβ的值．

Answer 1

分析：發(fā)現(xiàn)β=（α+β）-α，考慮sin[（α+β）-α]與cos[（α+β）-α]的展開式，結(jié)合條件只需求得sinα與sin（α+β）的值即可．

解答：解：∵α∈(0，

π

2

)，而cosα=

1

3

，∴sinα=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，又α，β∈(0，

π

2

)，
知α+β∈（0，π），而cos(α+β)=-

1

3

，∴sin(α+β)=

1-(- 1 3 )2

=

2 2

3

，
∴sinβ=sin[(α+β)-α]=

2 2

3

×

1

3

-(-

1

3

)×

2 2

3

=

4 2

9

，
cosβ=cos[(α+β)-α]=(-

1

3

)×

1

3

+

2 2

3

×

2 2

3

=

7

9

，
于是tanβ=

4 2

7

．

點評：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，將cos(α+β)=-

1

3

展開，難以求得sinβ與cosβ的值，于是轉(zhuǎn)為考慮角的變換．仔細分析題目的條件，是解題好壞的關(guān)鍵．β=（α+β）-α是角的變化技巧．