Question

已知點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數(shù)）都在函數(shù)圖象上．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)a_n=n（n為正整數(shù)），過點(diǎn)P_n，P_n+1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為c_n，試求最小的實(shí)數(shù)t，使c_n≤t對(duì)一切正整數(shù)n恒成立；
（Ⅲ）對(duì)（Ⅱ）中的數(shù)列{a_n}，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在a_k與a_k+1之間插入3^k-1個(gè)3，得到一個(gè)新的數(shù)列{d_n}，設(shè)S_n是數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和，試探究2008是否數(shù)列{S_n}中的某一項(xiàng)，寫出你探究得到的結(jié)論并給出證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知，
所以，（常數(shù)），
所以，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）若a_n=n，則，
∴，，，
直線P_nP_n+1的方程為，
它與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A_n（n+2，0），，
∴，
，
∴數(shù)列{c_n}隨n增大而減小，
∴，即最小的實(shí)數(shù)t的值為．
（Ⅲ）∵a_n=n，∴數(shù)列{d_n}中，從第一項(xiàng)a₁開始到a_k為止（含a_k項(xiàng)）的所有項(xiàng)的和是：
（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=+，
當(dāng)k=7時(shí)，其和是，
而當(dāng)k=8時(shí)，其和是．
又因?yàn)?008-1120=888=296×3，是3的倍數(shù)，
所以存在自然數(shù)m，使S_m=2008．
此時(shí)m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．
分析：（Ⅰ）若設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則，為常數(shù)，即證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）若a_n=n，則，得點(diǎn)，，從而得斜率，即得直線P_nP_n+1的方程，求得它與x軸，y軸的交點(diǎn)A_n，B_n，得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，{c_n}的增減性，知，即得最小的實(shí)數(shù)t的值．
（Ⅲ）由a_n=n，知數(shù)列{d_n}中，從第一項(xiàng)a₁開始到a_k為止的所有項(xiàng)的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1），k=7時(shí)，和是，k=8時(shí)，和是；2008-1120=888是3的倍數(shù)，所以存在自然數(shù)m，使S_m=2008；求出m的值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，解題時(shí)靈活應(yīng)用了等比關(guān)系的確定，數(shù)列的求和公式等知識(shí)，是較難的題目．