13.已知橢圓$P:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的右焦點為F(1,0),且經(jīng)過點$({\frac{2}{3},\frac{{2\sqrt{6}}}{3}})$
(1)求橢圓P的方程;
(2)已知正方形ABCD的頂點A,C在橢圓P上,頂點B,D在直線7x-7y+1=0上,求該正方形ABCD的面積.

分析 (1)由題意可得:a2-b2=1,$\frac{(\frac{2}{3})^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{(\frac{2\sqrt{6}}{3})^{2}}{^{2}}$=1,聯(lián)立解出即可得出.
(2)ABCD為正方形,可得AC⊥BD,設(shè)直線AC的方程為:y=-x+m.代入橢圓方程可得:7x2-8mx+4m2-12=0,△>0,解得$-\sqrt{7}$<m$<\sqrt{7}$,設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式可得:線段AC的中點M$(\frac{4m}{7},\frac{3m}{7})$.由點M在直線BD上,代入解得m=-1∈$(-\sqrt{7},\sqrt{7})$.可得直線AC的方程為:x+y+1=0.可得|AC|=$\sqrt{1+(-1)^{2}}$$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$.可得該正方形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}|AC{|}^{2}$.

解答 解:(1)由題意可得:a2-b2=1,$\frac{(\frac{2}{3})^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{(\frac{2\sqrt{6}}{3})^{2}}{^{2}}$=1,聯(lián)立解得a2=4,b2=3.
∴橢圓P的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1.
(2)∵ABCD為正方形,∴AC⊥BD,設(shè)直線AC的方程為:y=-x+m.
代入橢圓方程可得:7x2-8mx+4m2-12=0,
△=64m2-28(4m2-12)>0,解得$-\sqrt{7}$<m$<\sqrt{7}$,
設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),
則x1+x2=$\frac{8m}{7}$,x1•x2=$\frac{4{m}^{2}-12}{7}$,y1+y2=2m-(x1+x2)=2m-$\frac{8m}{7}$=$\frac{6m}{7}$.
∴線段AC的中點M$(\frac{4m}{7},\frac{3m}{7})$.
由點M在直線BD上,∴7×$\frac{4m}{7}$-7×$\frac{3m}{7}$+1=0,解得m=-1∈$(-\sqrt{7},\sqrt{7})$.
∴直線AC的方程為:x+y+1=0.
|AC|=$\sqrt{1+(-1)^{2}}$$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{(-\frac{8}{7})^{2}-4×(-\frac{8}{7})}$=$\frac{24}{7}$.
∴該正方形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}|AC{|}^{2}$=$\frac{1}{2}×(\frac{24}{7})^{2}$=$\frac{288}{49}$.

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、正方形的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

練習冊系列答案
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(3)設(shè)ξ~B(n,p),已知Eξ=3,Dξ=$\frac{9}{4}$,則n與p值分別為12,$\frac{1}{4}$
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