Question

15．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=t-2}\\{y=t+2}\end{array}}$（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}（α為參數(shù)）}$．
（1）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最值．
（2）請問是否存在直線m，m∥l且m與曲線C的交點A、B滿足S_△AOB=$\frac{3}{4}$；若存在，請求出滿足題意的所有直線方程，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設Q的坐標為（$\sqrt{3}$cosα，sinα），利用點到直線的距離公式可得點Q到直線l的距離d，再利用余弦函數(shù)的單調性即可得出；
（2）假設存在直線m，m∥l且m與曲線C的交點A、B滿足S_△AOB=$\frac{3}{4}$；設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設直線l：x-y+t=0．由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}（α為參數(shù)）}$．化為化為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，聯(lián)立方程得到△＞0及根與系數(shù)的關系，利用弦長公式可得|AB|，利用點到直線的距離公式可得原點O到直線m的距離，再利用三角形的面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程化為直角坐標系方程x-y+4=0，…（2分）
因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為（$\sqrt{3}$cosα，sinα），從而點Q到直線l的距離為
d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-sin+4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$cos（α+$\frac{π}{6}$）+2$\sqrt{2}$，…（4分）
由此得，當cos（α+$\frac{π}{6}$）=-1時，d取得最小值，且最小值為$\sqrt{2}$
當cos（α+$\frac{π}{6}$）=1時，d取得最大值，且最大值為3$\sqrt{2}$．…（6分）
（2）設l平行線m方程：x-y+n=0，…（7分）
由曲線C的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}（α為參數(shù)）}$，化為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
直線代入，化為4x²+6nx+3n²-3=0．
∵直線l與橢圓有兩個交點，∴△=36n²-16（3n²-3）＞0，化為n²＜4（*）．
∴x₁+x₂=-$\frac{3n}{2}$，x₁x₂=$\frac{3{n}^{2}-3}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{3-\frac{3{n}^{2}}{4}}$，
設O到直線m的距離為d，則$d=\frac{|n|}{{\sqrt{2}}}$…（10分）
${S_{△AOB}}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{3-{{\frac{3n}{4}}^2}}•\frac{|n|}{{\sqrt{2}}}$，$n=±\sqrt{3}或n=±1$，經驗證均滿足題意，
所以滿足題意直線m有4條，方程為：$x-y±\sqrt{3}=0，x-y±1=0$，…（12分）

點評 本題綜合考查了極坐標與直角坐標的互化公式、點到直線的距離公式、余弦函數(shù)的單調性、相互平行的直線的斜率之間的關系、橢圓的參數(shù)方程、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關系、弦長公式、三角形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．