Question

已知A，B分別是直線y=x和y=-x上的兩個動點，線段AB的長為2，D是AB的中點．
（1）求動點D的軌跡C的方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點P、Q，
①當|PQ|=3時，求直線l的方程；
②設點E（m，0）是x軸上一點，求當•恒為定值時E點的坐標及定值．

Answer 1

解：（1）設D（x，y），A（a，a），B（b，-b），
∵D是AB的中點，∴x=，y=，
∵|AB|=2，∴（a-b）²+（a+b）²=12，
∴（2y）²+（2x）²=12，∴點D的軌跡C的方程為x²+y²=3．
（2）①當直線l與x軸垂直時，P（1，），Q（1，-），
此時|PQ|=2，不符合題意；
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1），
由于|PQ|=3，所以圓心C到直線l的距離為，
由=，解得k=．故直線l的方程為y=（x-1）．
②當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），
由消去y得（k²+1）x²-2k²x+k²-3=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則由韋達定理得x₁+x₂=，x₁x₂=，
則=（m-x₁，-y₁），=（m-x₂，-y₂），
∴•=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m²-++k²（-+1）=
要使上式為定值須=1，解得m=1，
∴•為定值-2，
當直線l的斜率不存在時P（1，），Q（1，-），
由E（1，0）可得=（0，-），=（0，），
∴•=-2，
綜上所述當E（1，0）時，•為定值-2．
分析：（1）設D（x，y），A（a，a），B（b，-b），通過D是AB的中點，|AB|的距離，列出方程即可求動點D的軌跡C的方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點P、Q，
①當|PQ|=3時，通過直線的斜率存在與不存在分別求解，利用圓心到直線的距離求出直線的斜率，然后求直線l的方程；
②當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），推出（k²+1）x²-2k²x+k²-3=0，
由韋達定理以及•，確定•為定值-2，當直線l的斜率不存在時，求出P（1，），Q（1，-），
得到•=-2，即可求出•恒為定值時E點的坐標及定值．
點評：本題考查直線與圓心位置關系，數量積與韋達定理的應用，軌跡方程的求法，考查計算能力，分類討論思想．