Question

6．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)？為什么？

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，再根據(jù)這3個(gè)系數(shù)成等差數(shù)列，求得n的值．
（Ⅱ）在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于零，得到r的值不是非負(fù)整數(shù)，可得展開式無常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：（Ⅰ）由于（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為${C}_{n}^{1}$，${C}_{n}^{2}$，${C}_{n}^{3}$，
由題意可得：2${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{3}$，解得n=7．
（Ⅱ） ${（\sqrt{x}+\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^7}$展開式的通項(xiàng)公式為${T_{r+1}}=C_7^r{（\sqrt{x}）^{7-r}}{（\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^r}={2^r}C_7^r{x^{\frac{7-2r}{2}}}$，

令$\frac{7-2r}{2}=0$，解得$r=\frac{7}{2}$（舍去），故展開式無常數(shù)項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．