Question

18．設(shè)點(diǎn)F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），以O(shè)為圓心，|F₁F₂|為直徑的圓交雙曲線于點(diǎn)M（第一象限）．若過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足恰為線段OF₂的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意M的坐標(biāo)為M（ $\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}c}{2}$），代入雙曲線方程可得e的方程，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意點(diǎn)F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），以O(shè)為圓心，|F₁F₂|為直徑的圓交雙曲線于點(diǎn)M（第一象限）．若過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足恰為線段OF₂的中點(diǎn)，
△OMF₂是正三角形，M的坐標(biāo)為M（ $\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}c}{2}$），代入雙曲線方程可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{4^{2}}$=1
∴e⁴-8e²+4=0，
∴e²=4+2$\sqrt{3}$
∴e=$\sqrt{3}$+1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線與圓的性質(zhì)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．