Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0）在區(qū)間[-$\frac{3}{2}$，2]上的最大值為1，則a=$\frac{3}{4}$或a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)解析式，分類討論，確定函數(shù)對稱軸和定點，數(shù)形結(jié)合確定最大值點，建立等量關(guān)系求解a．

解答 解：a=0時，f（x）=-x-3，f（x）在[-$\frac{3}{2}$，2]上不能取得1，故a≠0．
故f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0），它的對稱軸方程為x₀=$\frac{1-2a}{2a}$，
①令f（-$\frac{3}{2}$）=1，解得a=-$\frac{10}{3}$，此時x₀=-$\frac{23}{20}$，
∵a＜0，∴f（x₀）最大，所以f（-$\frac{3}{2}$）=1不合適．
②令f（2）=1，解得a=$\frac{3}{4}$，此時x₀=-$\frac{1}{3}$∈[-$\frac{3}{2}$，2]．
因為a=$\frac{3}{4}$，x₀=-$\frac{1}{3}$∈[-$\frac{3}{2}$，2]且距右端2較遠，所以f（2）最大，滿足條件，合適．
③令f（x₀）=1，得a=$\frac{1}{2}$，經(jīng)驗證a=$\frac{1}{2}$，滿足條件．
綜上，a=$\frac{3}{4}$或a=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$或a=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考察二次函數(shù)的性質(zhì)，對于給出最值求參題目，一般要結(jié)合題中所給解析式大致確定函數(shù)圖象、分類討論來研究，解題的關(guān)鍵是找出對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．