Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x-m在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有零點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合M；
（2）設(shè)不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集為N，若x∈N是x∈M的必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)即可求實(shí)數(shù)m的取值集合M；
（2）根據(jù)必要條件的定義轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)根的分布，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若函數(shù)f（x）=x²-x-m在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有零點(diǎn)，
則方程函數(shù)m=x²-x在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有根，
設(shè)g（x）=x²-x，則g（x）=（x-

1

2

）²-

1

4

，
∵-1＜x＜1，∴-

1

4

≤g（x）＜2，
則-

1

4

≤m＜2，即M=[-

1

4

，2）．
（2）∵x∈N是x∈M的必要條件，
∴M⊆N，
設(shè)m（x）=（x-a）（x+a-2），
∵M(jìn)=[-

1

4

，2）．
∴

m(- 1 4 )=(- 1 4 -a)(- 1 4 +a-2)＜0 m(2)=(2-a)(2+a-2)≤0

，
即

(a+ 1 4 )(a- 9 4 )＞0 a(a-2)≥0

，
則

a＞ 9 4 或a＜- 1 4 a≥2或a≤0

，
解得a＞

9

4

或a＜-

1

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的求解以及充分條件和必要條件的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．