設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點為F，點P在y軸上，直線PF交橢圓于M、N，
PM
=λ1
MF
，
PN
=λ2
NF
，則實數(shù)λ1+λ2=（　�。�
分析：設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-c）．將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0．然后利用向量關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系，可求得λ1+λ2的值．
解答：解：設(shè)M，N，P點的坐標分別為M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，y0），
又不妨設(shè)F點的坐標為（c，0）．
顯然直線l存在斜率，設(shè)直線l的斜率為k，
則直線l的方程是y=k（x-c）．
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（b2+a2k2）x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0．
∴x1+x2=
2a2ck2
b2+a2k2
，x1x2=
-a2b2
b2+a2k2
．
又∵
PM
=λ1
MF
，
PN
=λ2
NF
，
將各點坐標代入得 λ1=
x1
2-x1
，λ2=
x2
2-x2

λ1+λ2=
x1
2-x 1
+
x2
2-x2
=
2(x1+x2)-2x1x2
4-2(x1+x2)+x1x2
=-
2a2
b2
．
故選C．
點評：本題以向量為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，是橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用題，解題時要注意公式的合理選取和靈活運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點，C，原點O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|．
（Ⅰ）證明a=
2
b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命題成立：設(shè)圓x2+y2=t2上任意點M（x0，y0）處的切線交橢圓于Q1，Q2兩點，則OQ1⊥OQ2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的動點Q，過動點Q作橢圓的切線l，過右焦點作l的垂線，垂足為P，則點P的軌跡方程為（　　）
A、x2+y2=a2
B、x2+y2=b2
C、x2+y2=c2
D、x2+y2=e2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)P是橢圓
x2a2
+y2=1   (a＞1)短軸的一個端點，Q為橢圓上一個動點，求|PQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•即墨市模擬）設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，右焦點為F（c，0），方程ax2+bx-c=0的兩個實根分別為x1和x2，則點P（x1，x2）（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)-1＜a＜-
1
2
，則橢圓
x2
a2
+
y2
(a+1)2
=1的離心率的取值范圍是（　�。�

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