Question

10．如圖，已知D是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，AB=$\sqrt{6}$，P是平面ABC外一點，PC⊥平面ABC，DE⊥BP于E，DE=1．
（1）求證：AD⊥平面PBC；
（2）平面ABP與平面CPB所成二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）推導出PC⊥AD，AD⊥BC，由此能證明AD⊥平面PBC．
（2）求出BC=2$\sqrt{3}$，PB=3$\sqrt{2}$，PA=2$\sqrt{3}$，連結(jié)AE，得∠AED即為平面ABP與平面CPB所成二面角的平面角，由此能求出平面ABP與平面CPB所成二面角的大�。�

解答 證明：（1）∵PC⊥面ABC，PD?平面ABC，∴PC⊥AD，
又∵D是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，∴AD⊥BC，
∵PC∩BC=C，∴AD⊥平面PBC．
解：（2）∵D是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，AB=$\sqrt{6}$，
∴BC=$\sqrt{6+6}$=2$\sqrt{3}$，
∵PC⊥平面ABC，DE⊥BP于E，DE=1，∴Rt△PCB∽Rt△EDB，
∴$\frac{DE}{PC}=\frac{BE}{BC}$，∴PC=$\frac{DE•BC}{BE}$=$\frac{1×2\sqrt{3}}{\sqrt{3-1}}$=$\sqrt{6}$，
∴PB=$\sqrt{6+12}$=3$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{6+6}$=2$\sqrt{3}$，
連結(jié)AE，
∵AD⊥平面PBC，DE⊥PB，∴∠AED即為平面ABP與平面CPB所成二面角的平面角，
AD=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{3+1}$=2，
sin∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠AED=60°．
∴平面ABP與平面CPB所成二面角的大小為60°．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．