Question

19．如圖，⊙O的圓心O在Rt△ABC的直角邊BC上，AB、AC都是⊙O的切線，M是AB與⊙O相切的切點，N是⊙O與BC的交點．
（Ⅰ）證明：MN∥AO；
（Ⅱ）若AC=3，MB=2，求CN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接CM，OM，運用三角形的全等的判定和性質(zhì)，可得AO⊥CM，再由兩直線平行的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）由切線的性質(zhì)，可得AM=AC=3，求得AB，BC，運用圓的切割線定理，計算即可得到所求CN的長．

解答 解：（Ⅰ）連接CM，OM，
∵AC、AM都是⊙O的切線，
可得AC=AM，OC=OM，AO=AO，
則△AOC≌△AOM，
即有AO⊥CM，
又CN為⊙O的直徑，
∴MN⊥CM，
∴MN∥AO；
（Ⅱ）由切線的性質(zhì)可得AM=AC=3，
∴AB=AM+MB=5，
∴$BC=\sqrt{A{B^2}-A{C^2}}=4$
又由切割線定理得MB²=BN•BC，
∴BN=$\frac{M{B}^{2}}{BC}$=$\frac{{2}^{2}}{4}$=1，
∴CN=CB-BN=4-1=3．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)和切割線定理、勾股定理的運用，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．