Question

已知函數(shù)f（x）=b+（1-2a）x+x²-x³．
（I）討論f（x）在其定義域上的單調性；
（II）設曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=4x-1，求函數(shù)f（x）在定義域上的極小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（I）求導f′（x）=（1-2a）+2x-3x²，從而討論導數(shù)的正負以確定函數(shù)的單調性；
（II）由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=4x-1知f（1）=4-1=3=b+（1-2a）+1-1，f′（1）=（1-2a）+2-3=4；從而解出a，b；從而求極小值．

解答： 解：（I）f′（x）=（1-2a）+2x-3x²，
①當△=4+4×3（1-2a）≤0；
即a≥

2

3

時，f′（x）≤0；
故f（x）在其定義域上是減函數(shù)，
②當△=4+4×3（1-2a）＞0，即a＜

2

3

時；
當x∈（-∞，

1- 4-6a

3

），（

1+ 4-6a

3

，+∞）時，f′（x）＜0；
當x∈（

1- 4-6a

3

，

1+ 4-6a

3

）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，

1- 4-6a

3

），（

1+ 4-6a

3

，+∞）上為減函數(shù)，
在（

1- 4-6a

3

，

1+ 4-6a

3

）為增函數(shù)；
（II）∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=4x-1，
∴f（1）=4-1=3=b+（1-2a）+1-1；
f′（1）=（1-2a）+2-3=4，
解得，a=-2，b=-2；
故f（x）=-x³+x²+5x-2，f′（x）=-3（x-

5

3

）（x+1）；
則f（x）在（-∞，-1），（

5

3

，+∞）上為減函數(shù)，在（-1，

5

3

）為增函數(shù)；
故函數(shù)f（x）在x=-1處有極小值f（-1）=-5．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的數(shù)學思想應用，屬于中檔題．