Question

【題目】已知為實數(shù)，函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；

（Ⅲ）若，求使方程有唯一解的的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，遞增區(qū)間為；當時，遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為； （Ⅱ）； （Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）首先求出函數(shù)定義域與，然后根據(jù)與0的大小關(guān)系，分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），分和討論函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得的最小值；

（Ⅲ）設(shè)，然后將問題轉(zhuǎn)化為有唯一解，從而通過求導研究函數(shù)的單調(diào)性得到，進而構(gòu)造新函數(shù)，通過研究新函數(shù)的單調(diào)性求得的值．

（Ⅰ）由題意，函數(shù)，

可得的定義域為，且，

當時，，則在上是增函數(shù)；

當時，令，解得；令，得，

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

①當時，在上是增函數(shù)，所以；

②當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

若，即時，在上是增函數(shù)，所以；若，即時，在上是減函數(shù)，在上增函數(shù)，

所以，

綜上可得.

（Ⅲ）若方程有唯一解，設(shè)有唯一解，

令，可得，

因為，，所以或（舍去），

當時，，在上是單調(diào)遞減函數(shù)；

當時，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，

因為有唯一解，所以，

所以，即，所以，

因為，所以，

設(shè)函數(shù)，∵時，是增函數(shù)，

所以至多有一個解，且，

所以方程得解為，即，解得，

所以當時，方程有唯一解時的值為．