Question

已知A(2，1)，F(xiàn)(

2

，0)，P是曲線(xiàn)x²-y²=1（x＞0）上一點(diǎn)，當(dāng)|PA|+

2

2

|PF|取最小值時(shí)，P的坐標(biāo)是

 

，|PA|+

2

2

|PF|最小值是

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件易得a=1，c=

2

，根據(jù)雙曲線(xiàn)的第二定義可知，

|PF|

|PB|

=

2

，∴

2

2

|PF|=|PB|，∴|PA|+

2

2

|PF|=|PA|+|PB|．由此可以求出當(dāng)|PA|+

2

2

|PF|取最小值時(shí)，P的坐標(biāo)和|PA|+

2

2

|PF|最小值．

解答：解：∵a=1，c=

2

，∴e=

2

，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=

2

2

，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)與點(diǎn)B．
由雙曲線(xiàn)的第二定義可知，

|PF|

|PB|

=

2

，
∴

2

2

|PF|=|PB|，∴|PA|+

2

2

|PF|=|PA|+|PB|．
由題意可知，連接AB，當(dāng)AB⊥雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)時(shí)，|PA|+

2

2

|PF|=|PA|+|PB|取最小值，
此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，把y=1代入曲線(xiàn)x²-y²=1（x＞0）得x=

2

，
∴當(dāng)|PA|+

2

2

|PF|取最小值時(shí)，P的坐標(biāo)是 （

2

2

，1）．
由題設(shè)條件可知，|PA|+

2

2

|PF|=|PA|+|PB|的最小值是2-

2

2

．
答案：(

2

2

1)；2-

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的第二定義，解題時(shí)要注意進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．