Question

12．如圖在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AB=BC=$\frac{1}{2}$AP=2，D是AP的中點，E，G分別為PC，CB的中點，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，F(xiàn)為線段PD上一動點．當二面角G-EF-D的大小為$\frac{π}{4}$時，求FG與平面PBC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 由題意可知，AD⊥DC，AD⊥PD，DC⊥PD，以D為原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸距離空間直角坐標系，利用空間向量結(jié)合二面角G-EF-D的大小為$\frac{π}{4}$，求出F得位置可得F的坐標，進一步求出FG與平面PBC所成角的余弦值．

解答 解：由題意可知，AD⊥DC，AD⊥PD，DC⊥PD，以D為原點，
分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸距離空間直角坐標系，
∵AB=BC=$\frac{1}{2}$AP=2，且E，G分別為PC，CB的中點，
∴G（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），設(shè)F（0，0，a），
∴$\overrightarrow{GF}$=（-1，-2，a），$\overrightarrow{GE}$=（-1，-1，1），
設(shè)平面EFG的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GE}=-x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GF}=-x-2y+az=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2-a，a-1，1）．
又平面EFD的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|2-a|}{\sqrt{（2-a）^{2}+（a-1）^{2}+1}×1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=1，∴$\overrightarrow{GF}$=（-1，-2，1），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{r}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{PC}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{r}•\overrightarrow{BC}=-2x=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{r}$=（0，1，1）．
設(shè)FG與平面PBC所成角為θ，
則有sinθ=|cos＜$\overrightarrow{GF}，\overrightarrow{r}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{FG}•\overrightarrow{r}|}{|\overrightarrow{FG}|•|\overrightarrow{r}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}=\frac{\sqrt{33}}{6}$．
∴FG與平面PBC所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{33}}}{6}$．

點評 本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理運用，是中檔題．