Question

17．已知奇函數(shù)y=f（x），x∈R，a=${∫}_{-2}^{2}$[f（x）+$\frac{3}{8}$x²]dx，則二項(xiàng)式（$\frac{x}{2}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁹的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（　�。�

• A． -$\frac{21}{2}$
• B． -$\frac{5}{4}$
• C． -1
• D． -$\frac{15}{8}$

Answer 1

分析 利用定積分的定義求出a的值，再利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：奇函數(shù)y=f（x），x∈R，
∴a=${∫}_{-2}^{2}$[f（x）+$\frac{3}{8}$x²]dx
=${∫}_{-2}^{2}$f（x）dx+${∫}_{-2}^{2}$$\frac{3}{8}$x²dx
=0+$\frac{1}{8}$x³${|}_{-2}^{2}$
=2；
∴（$\frac{x}{2}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$）⁹展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{9}^{r}$•${（\frac{x}{2}）}^{9-r}$•${（-\frac{2}{{x}^{2}}）}^{r}$=（-2）^r•${（\frac{1}{2}）}^{9-r}$•${C}_{9}^{r}$•x^9-3r，
令9-3r=0，解得r=3；
∴展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為
T₄=（-2）³•${（\frac{1}{2}）}^{6}$•${C}_{9}^{3}$=-$\frac{21}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求定積分與二項(xiàng)式展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)問(wèn)題，是中檔題．