Question

7．討論函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$（a≠$\frac{1}{2}$）在（-2，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析 首先將函數(shù)的解析式整理變形，然后結合函數(shù)單調性的定義整理計算即可求得最終結果．

解答 解：函數(shù)的解析式：$f（x）=\frac{ax+1}{x+2}=a+\frac{1-2a}{x+2}$，
設x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1-2a}{{x}_{1}+2}-\frac{1-2a}{{x}_{2}+2}=\frac{（1-2a）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$，
x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，則 $\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}＞0$，
當 $1-2a＜0，a＞\frac{1}{2}$時，f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)f（x）單調遞增；
當 $1-2a＞0，a＜\frac{1}{2}$時，f（x₁）＞f（x₂），函數(shù)f（x）單調遞減．

點評 本題考查函數(shù)的單調性的應用，分類討論的數(shù)學思想等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中等題．