Question

18．已知函數(shù)f（x）=（x²-mx-m）e²+2m（m∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=0處取得根值，求m的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），由f′（0）=0解得m=0．可得函數(shù)解析式，由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0分別求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由f′（x）=[x²+（2-m）x-2m]e^x=e^x（x+2）（x-m），可得當(dāng)m≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
可得m≥0，取交集得m=0；當(dāng)m＞0時，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，由最小值大于0求出m的范圍，最后取并集得答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，f′（x）=[x²+（2-m）x-2m]e^x，
由f′（0）=-2m=0，解得m=0．
此時f（x）=x²e^x，f′（x）=（x²+2x）e^x，
令f（x）＞0，解得x＜-2或x＞0，
令f'（x）＜0，解得-2＜x＜0，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2），（0，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，0）；
（Ⅱ）∵f′（x）=[x²+（2-m）x-2m]e^x=e^x（x+2）（x-m），
當(dāng)m≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＞0時，f（x）＞f（0）=m≥0，
∴m=0；
當(dāng)m＞0時，令f′（x）＞0，解得x＞m，令f′（x）＜0，解得0＜x＜m，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，m）上單調(diào)遞減，在（m，+∞）上單調(diào)遞增，
∴$f{（x）_{min}}=f（m）=-m{e^m}+2m＞0$，即e^m＜2，解得0＜m＜ln2．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為[0，ln2）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題的求解方法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．