Question

1．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c．平面向量$\overrightarrow m$=（cosA，cosC），$\overrightarrow n$=（c，a），$\overrightarrow p$=（2b，0），且$\overrightarrow m$•（$\overrightarrow n$-$\overrightarrow p$）=0
（1）求角A的大��；
（2）當(dāng)|x|≤A時(shí)，求函數(shù)f（x）=sinxcosx+sinxsin（x-$\frac{π}{6}$）的值域．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow m$•（$\overrightarrow n$-$\overrightarrow p$）=0，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得（c-2b）cosA+acosC=0，化邊為角得cosA=$\frac{1}{2}$，進(jìn)一步求得A的大��；
（2）利用兩角差的正弦、倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)f（x）=sinxcosx+sinxsin（x-$\frac{π}{6}$），再由|x|≤A求得x的范圍，進(jìn)一步求得相位的范圍，可得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m$=（cosA，cosC），$\overrightarrow n$=（c，a），$\overrightarrow p$=（2b，0），
∴由$\overrightarrow m$•（$\overrightarrow n$-$\overrightarrow p$）=（cosA，cosC）•（c-2b，a）=（c-2b）cosA+acosC=0，
得（sinC-2sinB）cosA+sinAcosC=0，得-2sinBcosA+sinB=0．
∵sinB≠0，∴cosA=$\frac{1}{2}$，得A=$\frac{π}{3}$；
（2）f（x）=sinxcosx+sinxsin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}sinxcosx+\frac{\sqrt{3}}{2}si{n}^{2}x$
=$\frac{1}{4}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{1-cos2x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{4}cos2x$=$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$．
∵|x|≤A，A=$\frac{π}{3}$，∴$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{3}$，得$-π≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{3}$，
∴$-1≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則$\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{3}）$∈[$\frac{\sqrt{3}-2}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．