Question

已知橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形的周長為6＋4．

（Ⅰ）求橢圓M的方程；

（Ⅱ）設直線l：x＝ky＋m與橢圓M交手A，B兩點，若以AB為直徑的圓經過橢圓的右頂點C，求△ABC面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）時，取得最大值為.

【解析】(1)由題意可知2a+2c和e的值，所以可以求出a,b,c進而確定橢圓方程.

（2）以AB為直徑的圓過右頂點C，實質是,然后用坐標表示出來，再通過直線l的方程與橢圓方程聯立，借助韋達定理和判斷式把△ABC面積表示成關于k的函數，然后利用函數的方法求最值.

（Ⅰ）因為橢圓上一點和它的兩個焦點構成的三角形周長為，∴， 又橢圓的離心率為，即，所以，

∴，.  ………… 3分∴，橢圓的方程為.……4分

（Ⅱ）由直線的方程.聯立 消去得，………… 5分     

設，，則有，. ① ……… 6分

因為以為直徑的圓過點，所以 .由 ，得 .…………… 7分

將代入上式，得 .

將 ① 代入上式，解得 或（舍）. ……… 8分

所以,記直線與軸交點為，則點坐標為，

所以

設，則.

所以當時，取得最大值為