Question

已知橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為6+4．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：x=ky+m與橢圓M交手A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)C，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為6+4，橢圓的離心率，建立方程，利用b²=a²-c²，可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）由直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，由以AB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)C（3，0），可得 ，結(jié)合數(shù)量積公式及韋達(dá)定理，即可求m的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，可得 ，即，…（1分）
又橢圓的離心率為，即，…（2分）
所以a=3，，
所以b²=a²-c²=1，…（3分）
所以橢圓M的方程為．…（4分）
（Ⅱ）由消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0．…（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有，．①…（6分）
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)C（3，0），所以 ．…（7分）
由 ，，得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（8分）
將x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 ，…（10分）
將 ①代入上式得
解得 ，或m=3．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．