對(duì)于函數(shù)f(x)=a-
22x+1
(a∈R)

(Ⅰ) 是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?
(Ⅱ) 探究函數(shù)f(x)的單調(diào)性(不用證明),并求出函數(shù)f(x)的值域.
分析:(I)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,所以f(0)=0,代入函數(shù)解析式即可解得a的值,再利用奇函數(shù)的定義證明此時(shí)的函數(shù)為奇函數(shù)即可;
(II)先利用復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,再利用復(fù)合函數(shù)法求此函數(shù)的值域即可
解答:解:(Ⅰ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a函數(shù)f(x)=a-
2
2x+1
是奇函數(shù),因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,
所以f(0)=a-1=0,所以a=1
此時(shí)f(x)=1-
2
2x+1
=
2x-1
2x+1
,則f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=
1-2x
1+2x
=-f(x)
,
所以f(x)為奇函數(shù)
即存在實(shí)數(shù)a=1使函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=1-
2
2x+1
,因?yàn)?x+1在R上遞增,所以
2
2x+1
在R上遞減,所以f(x)=1-
2
2x+1
在R上遞增.
∵2x+1>1,
0<
2
2x+1
<2

-1<1-
2
2x+1
<1
,
即函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1)
點(diǎn)評(píng):本題考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì),復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的值域,分清復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成是解決本題的關(guān)鍵
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對(duì)于函數(shù)f(x)=a-
22x+1
 
(a∈R)
. 
(1)探索函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使得f(x)為奇函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•山東模擬)對(duì)于函數(shù)f(x)=a-
22x+1
(a∈R)

(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù);
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對(duì)于函數(shù)f(x)=a-
2bx+1
 (a∈R,b>0且b≠1)
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f (x)為奇函數(shù)?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對(duì)于函數(shù)f(x)=a-
12x+1
(a∈R):

(1)探究函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并給予證明;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?
(3)求函數(shù)f(x)的值域.

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