Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，3），且在x=1處的切線方程為：12x+y-13=0，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析：由題意可知f'（x）＜0的解集為（-1，3），即f'（x）=0的兩個根為-1和3，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，切點在函數(shù)f（x）的圖象上，建立方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式．

解答：解：由已知：f'（x）=3ax²+2bx+c＜0的解集為（-1，3），
∴

3a＞0 -1+3=- 2b 3a (-1)×3= c 3a f′(1)=3a+2b+c=-12 f(1)=a+b+c+d=1

?

a=1 b=-3 c=-9 d=12

?f(x)=x3-3x2-9x+12

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及根與系數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)題知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．