Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，，與交于點(diǎn)，底面，為的中點(diǎn)，.

（1）求證： 平面；

（2）求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OF，可得OF為的中位線，OF∥DE，可得證明；

（2）連接C點(diǎn)與AD中點(diǎn)為x軸，CB為y軸，CE為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，的值，可得異面直線與所成角的余弦值；

（3）可得平面EBD的一個法向量為，可得與平面所成角的正弦值.

解：（1）

如圖，連接OF，因為底面是菱形，與交于點(diǎn)，

可得O點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以O(shè)F為的中位線，

可得OF∥DE,又,DE不在平面ACF內(nèi)，

可得 平面；

（2）如圖連接C點(diǎn)與AD中點(diǎn)位x軸，CB為y軸，CE為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)菱形的邊長為2，可得CE=2，

可得E(0，0，2)，O(,,0),A(,1,0),F(0,1,1),

可得：,,設(shè)異面直線與所成角為，

可得，

（3）可得D (,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),

可得,,設(shè)平面EBD的一個法向量為，

可得，,可得的值可為，由

可得與平面所成角的正弦值為

=.