Question

f（x）=

|x|

x+2

，g（x）=f（x）-kx²，g（x）在（-∞，0）上有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：第一步：將f（x）的解析式化簡；
第二步：令g（x）=0，并將分式方程轉化為一元二次方程，于是將零點問題轉化為方程的實根問題；
第三步：尋找方程有兩個不等實根的充要條件，以探求k的取值范圍．

解答： 解：由x∈（-∞，0），得f（x）=

-x

x+2

，
從而g（x）=f（x）-kx²=

-x

x+2

-kx²，
令g（x）=0，即

-x

x+2

-kx²=0，
由于g（x）在（-∞，0）上有兩個零點，
所以方程

-x

x+2

-kx²=0在（-∞，0）上有兩個不等實根，
即方程kx²+2kx+1=0在（-∞，-2）∪（-2，0）上有兩個不等實根，
得

△＞0 1 k ＞0

，即

4k2-4k＞0 k＞0

，解得k＞1，
又當x=-2時，由kx²+2kx+1=0知，k的值不存在，
故實數(shù)k的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)零點個數(shù)的判斷，關鍵是善于將函數(shù)的零點轉化為對應方程的實根個數(shù)問題來處理．