Question

17．若函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$-1n（x+a）（a＞0）在（1，2）上單減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 求導f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{x+a}$=$\frac{（\sqrt{x}-1）^{2}+a-1}{2\sqrt{x}（x+a）}$，從而可得（$\sqrt{x}$-1）²+a-1＜0在（1，2）上恒成立，從而解得．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{x}$-1n（x+a），
∴f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-$\frac{1}{x+a}$=$\frac{（\sqrt{x}-1）^{2}+a-1}{2\sqrt{x}（x+a）}$，
∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$-1n（x+a）（a＞0）在（1，2）上單減，
∴f′（x）=$\frac{（\sqrt{x}-1）^{2}+a-1}{2\sqrt{x}（x+a）}$＜0在（1，2）上恒成立，
∴（$\sqrt{x}$-1）²+a-1＜0在（1，2）上恒成立，
∵g（x）=（$\sqrt{x}$-1）²+a-1在（1，2）上單調(diào)遞增，
故只需使g（2）=（$\sqrt{2}$-1）²+a-1≤0，
解得，a≤2$\sqrt{2}$-2．
故0＜a≤2$\sqrt{2}$-2．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題與最值問題．