Question

如圖三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，側(cè)棱AA₁垂直于底面ABC₁；AA₁=

3 3

2

，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=BC，
（1）求證：直線BC₁∥平面AB₁D
（2）若在幾何體A₁B₁C₁-ACD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，求該點(diǎn)落在三棱錐C₁-ABB₁內(nèi)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可得到結(jié)論．
（2）求出對(duì)于幾何體的體積，利用幾何槪型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁可知，BC∥B₁C₁，BC=B₁C₁，
D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=BC，
則BD∥B₁C₁，BD=B₁C₁，
即四邊形BDB₁C₁為平行四邊形，
故BC₁∥DB₁，
又DB₁?平面AB₁D，BC?AB₁D，
故BC₁∥平面AB₁D．
（2）由A向BC作垂線，垂足為E，
則AE⊥BC，
又AA₁⊥底面ABC，且AA₁∥CC₁，
故CC₁⊥底面ABC，
則CC₁⊥AE，
故點(diǎn)A到平面BB₁C₁的距離為AE，
∵底面ABC是邊長(zhǎng)為3的正三角形，
∴AE=

3 3

2

，
則三棱錐C₁-ABB₁內(nèi)體積V=

1

3

|AE|•S=

1

3

×

3 3

2

×(

1

2

×3×

3 3

2

)=

27

8

，
三棱柱A₁B₁C₁-ACD的體積為

4

3

×

3 3

2

×

3

4

×3=

27

2

，
故所求的概率P=

27 8

27 2

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行的判定以及，幾何槪型的概率的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)．