Question

7．已知半徑為2的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是正數(shù)，且與直線4x-3y+2=0相切．
（1）求圓的方程；
（2）若直線ax-y+5=0與圓總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)到直線的距離求出半徑，從而求圓的方程；
（2）利用圓心到直線的距離小于半徑可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解：（1）設(shè)圓心為M（m，0）（m∈Z）．
由于圓與直線4x-3y+2=0相切，且半徑為2，所以$\frac{|4m+2|}{5}$=2，
即|4m+2|=10．
因?yàn)閙為整數(shù)，故m=2．
故所求的圓的方程是（x-2）²+y²=4．
（2）因?yàn)橹本�ax-y+5=0與圓總有公共點(diǎn)，
則圓心（2，0）到直線ax-y+5=0的距離不超過圓的半徑，即$\frac{|2a-0+5|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$≤2，
解得a≤-$\frac{21}{20}$，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{21}{20}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．