f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),xf′(x)-f(x)<0,且f(-3)=0,則不等式
f(x)x
>0的解集
(-∞,-3)∪(0,3)
(-∞,-3)∪(0,3)
分析:構(gòu)造函數(shù)g(x)=
f(x)
x
,利用g(x)的單調(diào)性和奇偶性解不等式.
解答:解:設(shè)函數(shù)g(x)=
f(x)
x
,則g′(x)=
xf′(x)-f(x)
x2

當(dāng)x<0時(shí),xf′(x)-f(x)<0,所以此時(shí)g′(x)=
xf′(x)-f(x)
x2
<0
,即函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
又函數(shù)g(x)=
f(x)
x
為奇函數(shù).
所以函數(shù)g(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞減,且f(3)=0.
畫出函數(shù)g(x)=
f(x)
x
的草圖(只體現(xiàn)單調(diào)性),
則不等式
f(x)
x
>0的解為0<x<3或x<-3.
即不等式的解集為(-∞,-3)∪(0,3).
故答案為:(-∞,-3)∪(0,3).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用,利用條件構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且x≥0時(shí),f(x)=(
1
2
x,函數(shù)f(x)的值域?yàn)榧螦.
(Ⅰ)求f(-1)的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=
-x2+(a-1)x+a
的定義域?yàn)榧螧,若A⊆B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n,都有f(m)•f(n)=f(m+n),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1.
(1)證明:①f(0)=1;②當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1;③f(x)是R上的減函數(shù);
(2)設(shè)a∈R,試解關(guān)于x的不等式f(x2-3ax+1)•f(-3x+6a+1)≥1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

f(x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈(-2,0)時(shí),f(x)=2x-2,則f(-3)的值等于( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-3f(x).當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-x2.則f(0)+f(-1)+f(-1)+…+f(-2014)=( 。
A、-
3
4
(1-31007
B、-
3
4
(1+31007
C、-
1
4
(1-
1
31007
D、-
1
4
(1+
1
31007

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案