Question

在矩形ABCD中，AB：AD=1：2，E是AD的中點，沿BE將△ABE折起至△A₁BE的位置，使A₁C=A₁D．
（1）求證：面A₁BE⊥面BCDE；
（2）若BC=2，求A₁C與面A₁BE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）作A₁F⊥BE于F，A₁G⊥CD于G，連FG，證明FG是梯形BCDE的中位線，進(jìn)而證明CD⊥面A₁FG，A₁F⊥面BCDE，利用面面垂直的判定定理，可得面A₁BE⊥面BCDE；
（2）連接CE，證明CE⊥面A₁BE，可得∠CA₁E為A₁C與面A₁BE所成角，從而可求A₁C與面A₁BE所成角的正切值．

解答：（1）證明：作A₁F⊥BE于F，A₁G⊥CD于G，連FG．
∵AB：AD=1：2，E是AD中點，
∴AB=AE，即A₁BA₁E．
∵A₁F⊥BE，
∴AF=FE，
∵A₁C=A₁D，A₁G⊥CD，
∴CG=GD，
∴FG是梯形BCDE的中位線，
∴BC∥FG∥DE，
∴FG⊥CD．
∵A₁G⊥CD，
∴CD⊥面A₁FG，
∴CD⊥A₁F．
∵A₁F⊥BE，
∴A₁F⊥面BCDE，
∵A₁F?面A'BE，
∴面A₁BE⊥面BCDE；
（2）解：連接CE，則
∵BE=CE=

2

，BC=2，
∴BE²+CE²=BC²，
∴CE⊥BE，
∵面A₁BE⊥面BCDE，面A₁BE∩面BCDE=BE，
∴CE⊥面A₁BE，
∴∠CA₁E為A₁C與面A₁BE所成角，
∴tan∠CA₁E=

CE

A1E

=

2

．

點評：本題考查線面垂直，考查面面垂直，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，正確運用面面垂直的判定定理是關(guān)鍵．