Question

給出下列五個(gè)命題：
①在三角形ABC中，若A＞B則sinA＞sinB；
②若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n+1．則數(shù)列{b_n}從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列；
③已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₇＞S₈則S₉＞S₈；
④已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₅=5a₃則

S9

S5

=9；
⑤若{a_n}是等比數(shù)列，且S_n=3ⁿ⁺¹+r，則r=-1；
其中正確命題的序號(hào)為：

①②④

．

Answer 1

分析：對(duì)①，利用三角形的內(nèi)角和等于π與正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；
對(duì)②，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式判斷即可；
對(duì)③，根據(jù)條件看能否判斷a₉的正負(fù)，來(lái)判斷即可；
對(duì)④，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)判斷即可；
對(duì)⑤，利用公式求出數(shù)列的前三項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列成等比求出r，判斷即可．

解答：解：對(duì)①，當(dāng)A≤

π

2

時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得sinA＞sinB；當(dāng)A＞

π

2

時(shí)，∵A+B＜π，

π

2

＞π-A＞B，∴sinA＞sinB，故①正確；
對(duì)②，若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n+1，b_n=

4             (n=1) 2n+3     (n≥2)

，故②正確；
對(duì)③，∵{a_n}為等差數(shù)列，S₈-S₇=a₈＜0，a₉正負(fù)不確定，∴③錯(cuò)誤；
對(duì)④，∵

S9

S5

=

a1+a9 2 ×9

a1+a5 2 ×5

=

a5×9

a3×5

=

5a3×9

a3×5

=9，∴④正確；
對(duì)⑤，∵{a_n}是等比數(shù)列，a₁=9+r，a₂=18，a₃=54，∴r=-3，故⑤錯(cuò)誤．
故答案是①②④

點(diǎn)評(píng)：本題借助考查命題的真假判斷．考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式等知識(shí)．