Question

14．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)均為1，側(cè)棱AA₁=2，M，N分別是A₁C₁，A₁A的中點(diǎn)，
（1）求$\overrightarrow{CN}$的長(zhǎng)；
（2）求cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞的值；
（3）求證：A₁C⊥D₁M．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出$\overrightarrow{CN}$的長(zhǎng)．
（2）求出$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$，利用向量法能求出cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞．
（3）求出$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{{D}_{1}M}$，由$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{D}_{1}M}$=0，能證明A₁C⊥D₁M．

解答 解：（1）∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)均為1，
側(cè)棱AA₁=2，M，N分別是A₁C₁，A₁A的中點(diǎn)，
∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，1，0），N（1，0，1），
$\overrightarrow{CN}$=（1，-1，1），
∴$\overrightarrow{CN}$的長(zhǎng)|$\overrightarrow{CN}$|=$\sqrt{1+1+1}$=$\sqrt{3}$．
（2）A₁（1，0，2），D（0，0，0），C₁（0，1，2），
$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞=|$\frac{\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{D{C}_{1}}}{|\overrightarrow{C{A}_{1}}|•|\overrightarrow{D{C}_{1}}|}$|=|$\frac{0-1+4}{\sqrt{6}×\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
證明：（3）M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，2$），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}M}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{D}_{1}M}$=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0$=0，
∴A₁C⊥D₁M．

點(diǎn)評(píng) 本題考查$\overrightarrow{CN}$的長(zhǎng)的求法，考查cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞的值的求法，考查A₁C⊥D₁M的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．