Question

11．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，將△ADE、△EBF、△FCD分別沿DE、EF、FD折起，使得A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，若四面體A′EFD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 把棱錐擴(kuò)展為正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半徑就是三棱錐的外接球的半徑．

解答 解：由題意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．
三棱錐的底面A′EF擴(kuò)展為邊長(zhǎng)為1的正方形，
然后擴(kuò)展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個(gè)球，
正四棱柱的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度就是外接球的直徑，直徑為：$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴球的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的外接球體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵．