Question

19．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{6}$）（A＞0，ω＞0）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₀，2）和（x₀+$\frac{π}{2}$，-2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求sin（x₀+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件求出振幅以及函數(shù)的周期，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的最值，求出x₀的大小，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₀，2）和（x₀+$\frac{π}{2}$，-2）．
∴A=2，$\frac{T}{2}$=x₀+$\frac{π}{2}$-x₀=$\frac{π}{2}$，
即函數(shù)的周期T=π，即T=$\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=2，
即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵函數(shù)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，2），

∴2x₀+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
即x₀=$\frac{π}{6}$，
則sin（x₀+$\frac{π}{4}$）=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{6}$sin$\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin$\frac{π}{6}$+cos$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解，以及三角函數(shù)值的計(jì)算，利用兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵．