Question

9．已知{a_n}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃a₅=45，a₂+a₆=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+1（n∈N^*）．求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公差即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列是等比數(shù)列即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題設(shè)d＞0．
由a₂+a₆=14，可得a₄=7．
由a₃a₅=45，得（7-d）（7+d）=45，可得d=2．
即a₁=7-3d=1．
可得a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+1=2n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=2（n-1），
兩式作差得$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=2，
即b_n=2•2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．
即數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n+2}-4$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的求和，利用條件利用作差法判斷數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．