Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，， 其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．函數(shù)，．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）將的全部零點(diǎn)按照從小到大的順序排成數(shù)列，求證：

（1），其中；

（2）．

Answer 1

（Ⅰ）0（Ⅱ）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）解決類似的問題時(shí)，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得；（2）證明不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性很常見，一定要注意選取恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)及單調(diào)區(qū)間（3）不等式具有放縮功能，常常用于證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好切入點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，

綜上所述，函數(shù)的最小值是0． 4分

（Ⅱ）證明：對(duì)求導(dǎo)得，令可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和． 7分

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031506221775932834/SYS201503150622344943992326_DA/SYS201503150622344943992326_DA.033.png">，且函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的,所以在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又在區(qū)間上是單調(diào)的，故． 9分

（2）證明：由（Ⅰ）知，，則，因此，當(dāng)時(shí)，

記S=

則S 11分

由（1）知，S

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，S

即，S，證畢． 14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，利用單調(diào)性及放縮法證明不等式.