Question

函數f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，）的最大值為3，它的圖象相鄰的兩個對稱軸之間的距離為2，圖象在y軸交點的坐標為（0，2），
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設數列a_n=f（n）（n∈N^*），S_n是它的前n項和，求S₁₀₀．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將原函數用降冪公式轉化為一個角的一個三角函數的形式，由相鄰兩對稱軸間的距離為2可知周期求得ω，由最大值為3，求得A，又由圖象經過點（0，2），求得φ，進而得f（x）解析式．
（2）求出數列的前幾項，判斷數列是周期數列，求出一個周期的和．然后求解S₁₀₀．
解答：解：（1）將原函數f（x）=Acos²（ωx+φ）+1轉化為：f（x）=cos（2ωx+2φ）++1
相鄰兩對稱軸間的距離為2可知函數的周期為：4，則2ω==，ω=
由最大值為3，可知A=2
又∵圖象經過點（0，2），
∴cos2φ=0
∴2φ=kπ+，，φ=，
∴f（x）=cos（x+）+2=-sin+2．
（2）∵f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，f（4）=2，f（5）=1…所以數列{a_n}是周期數列，T=4，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=8，
S₁₀₀=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=8×25=200．
點評：本題主要考查了降冪公式和三角函數中各參數的意義，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，數列的求和，考查分析問題解決問題的能力．