Question

8．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義，在給定的區(qū)間上取值，作差，判正負(fù)，下結(jié)論，即可證得．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
則f（-x）=-x+$\frac{a}{x}$=-（x-$\frac{a}{x}$）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
（2）證明：設(shè)任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{a}{{x}_{1}}$-（x₂-$\frac{a}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1+$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，1+$\frac{a}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)$f（x）=x-\frac{2}{x}$在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)奇偶的和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握相應(yīng)的定義．