Question

4．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a、b∈R，都滿足f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（$\frac{1}{2}$）=1，a_n=$\frac{f（{2}^{-n}）}{n}$．
（1）求f（$\frac{1}{4}$）、f（$\frac{1}{8}$）、f（$\frac{1}{16}$）的值；
（2）猜測數(shù)列{a_n}通項公式，并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，即可求出f（$\frac{1}{4}$）、f（$\frac{1}{8}$）、f（$\frac{1}{16}$）的值；
（2）由（1）可猜測：f（2^-n）=f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）=n×（$\frac{1}{2}$）^n-1，下用數(shù)學歸納法證明即可，即可得到a_n=$\frac{f（{2}^{-n}）}{n}$=$\frac{n×（\frac{1}{2}）^{n-1}}{n}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1

解答 解：（1）f（$\frac{1}{4}$）=f（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=1，
f（$\frac{1}{8}$）=f（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，
f（$\frac{1}{16}$）=f（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{8}$）+$\frac{1}{8}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
（2）由（1）可猜測：f（2^-n）=f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）=n×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
下用數(shù)學歸納法證明：
當n=1時，左邊=f（2^-1）=f（$\frac{1}{2}$）=1，右式=1×（$\frac{1}{2}$）⁰=1，∴n=1時，命題成立．
假設n=k時，命題成立，即：f（2^-k）=f（$\frac{1}{{2}^{k}}$）=k×（$\frac{1}{2}$）^k-1，
則n=k+1時，左邊=f（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{k}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{2}^{k}}$）+$\frac{1}{{2}^{k}}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$×k×（$\frac{1}{2}$）^k-1+$\frac{1}{{2}^{k}}$×1=k×（$\frac{1}{2}$）^k+$\frac{1}{{2}^{k}}$=（k+1）×（$\frac{1}{2}$）^（k+1）-1
∴n=k+1時，命題成立．
綜上可知：對任意n∈N^*都有f（2^-n）=f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）=n×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
所以：a_n=$\frac{f（{2}^{-n}）}{n}$=$\frac{n×（\frac{1}{2}）^{n-1}}{n}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1

點評 本題主要考查數(shù)學歸納法的應用，考查數(shù)列的通項公式，正確運用數(shù)學歸納法是關鍵，屬于中檔題．