Question

【題目】已知函數(shù)，.

（l）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的圖象在上恒在軸的上方，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后通過對和討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）“若函數(shù)的圖象在上恒在軸的上方”等價于“不等式在上恒成立”， 即不等式在上恒成立，即不等式可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，只需在上最大值小于零即可，從而可求出的取值范圍.

（1），，

.

①若，，，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，無單調(diào)增區(qū)間；

②若，令，得；

令，得，

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.

綜上所述，若，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，無單調(diào)增區(qū)間；

若，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.

（2）“若函數(shù)的圖象在上恒在軸的上方”等價于“不等式在上恒成立”，

即不等式在上恒成立，

即不等式可轉(zhuǎn)化為在上恒成立.

令，

則.

①若，則，在上單調(diào)遞減，

所以，不等式恒成立等價于，即；

②若，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，不符合題意；

③若，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，

所以，不符合題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.