Question

15．如圖，⊙O中$\widehat{AB}$的中點(diǎn)為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大�。�
（2）若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)G，證明：OG⊥CD．

Answer 1

分析 （1）連接PA，PB，BC，設(shè)∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，運(yùn)用圓的性質(zhì)和四點(diǎn)共圓的判斷，可得E，C，D，F(xiàn)共圓，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得到所求∠PCD的度數(shù)；
（2）運(yùn)用圓的定義和E，C，D，F(xiàn)共圓，可得G為圓心，G在CD的中垂線上，即可得證．

解答 （1）解：連接PB，BC，
設(shè)∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，
∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，
由⊙O中$\widehat{AB}$的中點(diǎn)為P，可得∠4=∠5，
在△EBC中，∠1=∠2+∠3，
又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，
即有∠2=∠4，則∠D=∠1，
則四點(diǎn)E，C，D，F(xiàn)共圓，
可得∠EFD+∠PCD=180°，
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，
即有3∠PCD=180°，
可得∠PCD=60°；
（2）證明：由C，D，E，F(xiàn)共圓，
由EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)G
可得G為圓心，即有GC=GD，
則G在CD的中垂線，又CD為圓G的弦，
則OG⊥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和四點(diǎn)共圓的判斷，以及圓的垂徑定理的運(yùn)用，考查推理能力，屬于中檔題．