Question

數(shù)列{a_n}中，a_n-a_n-1=2（n≥2），a₁=1
（1）求數(shù)列的第10項(xiàng)．
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}中b_n=2ⁿ×a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和s_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n-a_n-1=2（n≥2）知{a_n}是以2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a₁₀；
（2）由（1）可得b_n，利用錯(cuò)位相減法可求s_n．

解答： 解：（1）∵a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴{a_n}是以2為公差的等差數(shù)列，且a₁=1，
∴a₁₀=1+9×2=19．
（2）由（1）知，a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∴b_n=2ⁿ×a_n=（2n-1）•2ⁿ，
S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ①，
2S_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②，
①-②得，-S_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

23(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點(diǎn)評(píng)：該題考查由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)、等差關(guān)系的確定及數(shù)列求和，錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．